Trouver le plus grand entier $k$ possédant la propriété suivante : quels que soient les réels $x_1,x_2,\dots,x_{2024}$ tels que $$x_1^2 = (x_1+x_2)^2 = \cdots = (x_1+x_2+\cdots+x_{2024})^2,$$ il en existe au moins $k$ qui sont tous égaux.
(Auteurs : Vincent Jugé - France et Martin Rakovsky - France)
Étant donnés $n \geqslant 2$ points sur un cercle, Alice et Bob jouent au jeu suivant. Initialement, un pion est placé sur l'un de ces points et aucun segment n'est tracé.
Les joueurs jouent chacun à leur tour, en commençant par Alice. Chaque joueur, lorsque c'est à son tour de jouer, déplace le pion du point sur lequel il se trouve, disons $P$, vers un des $n-1$ autres points, disons $Q$, puis trace le segment $[PQ]$. Ce déplacement n'est toutefois autorisé que si le segment $[PQ]$ n'avait pas déjà été tracé auparavant. Le premier joueur qui ne peut plus déplacer le pion perd la partie, et son adversaire gagne.
Déterminer, pour chaque $n$, lequel des deux joueurs peut s'assurer de gagner quels que soient les choix de son adversaire.
(Auteur : Emilhan Dürrüoglu - Belgique)
Soit $ABC$ un triangle dont tous les angles sont aigus et tel que $AB < AC$, et soit $O$ le centre de son cercle circonscrit. Soit $D$ le point de $[AC]$ tel que $AB = AD$. On note $E$ le point d'intersection de la droite $(AB)$ avec la perpendiculaire à $(AO)$ passant par $D$. Soit $F$ le point d'intersection de la droite perpendiculaire à $(OC)$ passant par $C$ et de la droite parallèle à $(AC)$ passant par $E$. Enfin, le point d'intersection des droites $(CE)$ et $(DF)$ est noté $G$. Prouver que $(AG)$ et $(BF)$ sont parallèles.
(Auteur : Nicolas Radu - Belgique)
Trouver tous les entiers $n \geqslant 2$ pour lesquels il existe $n$ entiers $a_1,a_2,\ldots,a_n$ supérieurs ou égaux à $2$ et tels que, pour tous les indices $i$ et $j$ distincts l'un de l'autre, l'entier $a_i$ divise $a_j^2+1$.
(Auteur : Martin Rakovsky - France)